Pojęcie pędu jest jednym z tych kluczowych terminów fizyki, które łączą codzienną intuicję z głębokimi teoriami opisującymi Wszechświat. Używamy go, gdy mówimy, że coś “nabiera rozpędu”, ale w języku nauki ma ono ściśle zdefiniowaną, matematyczną postać. Zrozumienie pędu pozwala lepiej opisać ruch ciała, zderzenia, działanie rakiet, a nawet procesy na poziomie cząstek elementarnych i kosmologii. To pojęcie przenika całą współczesną naukę.
Intuicyjne i klasyczne rozumienie pędu
W najbardziej podstawowym ujęciu pęd opisuje “ilość ruchu” ciała. W fizyce klasycznej, czyli opisującej ruch obiektów poruszających się dużo wolniej niż światło, pęd liniowy definiuje się wzorem:
p = m · v
gdzie m to masa, a v to prędkość. Pęd jest więc wielkością wektorową: ma zarówno wartość, jak i kierunek oraz zwrot zgodny z kierunkiem prędkości. Intuicyjnie oznacza to, że duży pęd ma albo bardzo ciężki obiekt, albo bardzo szybki, a najlepiej oba naraz. Samochód jadący 100 km/h ma dużo większy pęd niż rowerzysta jadący z tą samą prędkością, bo masa samochodu jest znacznie większa.
Warto podkreślić, że pęd nie jest tym samym, co energia, choć obie wielkości są ze sobą powiązane. Dwa ciała mogą mieć taki sam pęd, ale różną energię kinetyczną, zależnie od ich masy. Dla masy m energia kinetyczna ma postać:
Ek = ½ m · v²
Energia zależy od kwadratu prędkości, natomiast pęd zależy od prędkości liniowo. Ta różnica ma ogromne znaczenie praktyczne, np. przy obliczaniu obrażeń w zderzeniach, przy hamowaniu pojazdów czy projektowaniu zabezpieczeń.
Szczególnie istotną cechą pędu jest jego zachowanie w izolowanych układach. Zasada zachowania pędu mówi, że jeśli na układ ciał nie działają siły zewnętrzne (albo ich wypadkowa jest równa zero), to całkowity pęd układu pozostaje stały, niezależnie od tego, co dzieje się w środku układu. Może zmieniać się rozkład pędu między poszczególnymi ciałami, ale suma pozostaje niezmienna. Ta idea jest fundamentem całej mechaniki.
Pęd a zderzenia i oddziaływania
Zasada zachowania pędu szczególnie wyraźnie ujawnia się w zjawiskach zderzeń. Klasycznie wyróżnia się dwa skrajne typy zderzeń: sprężyste i niesprężyste. W zderzeniach sprężystych zachowana jest zarówno całkowita energia kinetyczna, jak i pęd. W zderzeniach niesprężystych – typowych dla codziennego świata, np. stłuczka samochodowa – pęd całkowity nadal jest zachowany, ale część energii kinetycznej przekształca się w inne formy: ciepło, dźwięk, energię odkształceń.
Załóżmy dwa ciała o masach m₁ i m₂, poruszające się z prędkościami v₁ i v₂ przed zderzeniem. Całkowity pęd układu przed zderzeniem to:
pprzed = m₁v₁ + m₂v₂
Po zderzeniu wartości prędkości się zmieniają (v₁’, v₂’), ale obowiązuje:
ppo = m₁v₁’ + m₂v₂’ = pprzed
Niezależnie od rodzaju zderzenia ta równość musi zostać zachowana, jeśli oddziaływania z zewnętrzem można pominąć. To właśnie z zasady zachowania pędu korzysta się, gdy rekonstruuje się przebieg wypadków drogowych, analizuje rozprysk odłamków po eksplozji albo projektuje eksperymenty w fizyce cząstek elementarnych.
Warto zauważyć, że pęd może być przenoszony i zamieniany między różnymi formami ruchu: translacyjnego (poruszanie się środka masy), obrotowego wokół osi, czy złożonego. Dlatego w fizyce wprowadza się także pojęcie momentu pędu, związanego z ruchem obrotowym. Jednak nawet wtedy podstawowa zasada pozostaje ta sama: w izolowanym układzie moment pędu również jest wielkością zachowaną.
Ciekawym przykładem jest odrzut broni palnej albo rakiety. Gdy pocisk opuszcza lufę, zyskuje duży pęd skierowany do przodu; zgodnie z zasadą zachowania pędu broń otrzymuje pęd o takiej samej wartości, lecz przeciwnym zwrocie, co odczuwamy jako odrzut. W rakiecie z kolei spaliny wyrzucane są z dużą prędkością w tył, a sama rakieta porusza się w przód. Ten mechanizm działa w próżni, ponieważ nie wymaga oparcia się o powietrze czy podłoże – wystarczy, że pęd zostanie podzielony między różne części układu.
Pęd w mechanice newtonowskiej a siła i czas
Pęd łączy się ściśle z pojęciem siły. W drugiej zasadzie dynamiki Newtona siła jest zdefiniowana jako tempo zmiany pędu:
F = dp/dt
Jeśli masa jest stała, sprowadza się to do znanego ze szkoły wzoru F = m · a, ale w pełnej postaci uwzględnia możliwość zmiany masy w czasie (np. wypalanie paliwa w rakiecie). Wzór ten podkreśla, że istotą działania siły jest właśnie zmiana pędu. Im szybciej pęd ulega zmianie, tym większa siła. Z tego powodu w inżynierii i biomechanice często analizuje się tzw. impuls siły.
Impuls I definiuje się jako całkę z siły po czasie albo – w prostszej wersji – jako:
I = F · Δt = Δp
Oznacza to, że impuls jest równy zmianie pędu. Jeśli chcemy np. zatrzymać jadący samochód, możemy użyć dużej siły przez krótki czas (gwałtowne hamowanie) albo mniejszej siły przez dłuższy czas (łagodne hamowanie). Łączna zmiana pędu musi odpowiadać początkowemu pędowi pojazdu. Ta relacja jest kluczowa przy projektowaniu systemów bezpieczeństwa, takich jak poduszki powietrzne, pasy bezpieczeństwa czy strefy zgniotu w samochodach.
Poduszka powietrzna wydłuża czas, w którym głowa i tułów pasażera wytracają prędkość, a więc ich pęd. Skoro zmiana pędu jest narzucona (trzeba zatrzymać ciało), to zwiększając czas Δt, zmniejsza się średnia siła działająca na organizm. W ten sposób zasada pędu staje się narzędziem inżynierii ochrony życia.
W skali sportu pęd pozwala zrozumieć techniki uderzeń i rzutów. Zawodnik piłki ręcznej czy bejsbola nie koncentruje się jedynie na sile mięśni, ale na tym, aby w odpowiednim czasie nadać piłce jak największy pęd. Optymalny ruch ciała – zamach ręką, praca tułowia, nóg – pozwala gromadzić pęd i przekazać go piłce. W wielu dyscyplinach mówi się o “transferze pędu” od nóg, przez biodra, do ramienia i dłoni.
Relatywistyczne ujęcie pędu
Wraz z rozwojem teorii względności Einsteina okazało się, że klasyczny wzór p = m · v przestaje być wystarczający przy prędkościach bliskich prędkości światła. W relatywistycznej mechanice pęd ciała o spoczynkowej masie m₀ opisuje się równaniem:
p = γ m₀ v
gdzie γ (gamma) to czynnik relatywistyczny równy:
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
c oznacza prędkość światła w próżni. Wraz ze wzrostem prędkości v, wartość γ rośnie coraz szybciej i dąży do nieskończoności, gdy v zbliża się do c. W praktyce oznacza to, że im szybciej porusza się ciało, tym trudniej dalej zwiększać jego prędkość. Pęd staje się coraz większy, a wymagana do jego zmiany siła – coraz trudniejsza do fizycznej realizacji.
Klasyczny wzór p = m · v jest więc bardzo dobrym przybliżeniem tylko przy małych prędkościach (w świecie codziennym). Jednak w fizyce wysokich energii, w akceleratorach cząstek, w astrofizyce i kosmologii trzeba już korzystać z pełnej relatywistycznej definicji pędu. Dzięki niej można poprawnie opisać ruch cząstek w pobliżu prędkości światła, rozpraszanie promieni kosmicznych czy dynamikę w pobliżu czarnych dziur.
Relatywistyczny pęd nie tylko modyfikuje nasze rozumienie ruchu, ale łączy się ściśle z energią poprzez słynny związek:
E² = (pc)² + (m₀c²)²
W przypadku cząstek bezmasowych, takich jak foton, spoczynkowa masa m₀ jest równa zero, więc energia i pęd są powiązane prostym równaniem:
E = pc
Oznacza to, że nawet bezmasowe kwanty promieniowania elektromagnetycznego mogą przenosić pęd, a co za tym idzie – wywierać ciśnienie. To tzw. ciśnienie promieniowania, istotne m.in. w fizyce gwiazd czy w koncepcjach żagli słonecznych.
Pęd w mechanice kwantowej
Na poziomie mechaniki kwantowej pęd przestaje być tylko klasyczną wielkością wektorową i staje się operatorem działającym na funkcje falowe. Już Louis de Broglie zaproponował, że każdej cząstce materialnej można przypisać falę o długości:
λ = h / p
gdzie h to stała Plancka. Im większy pęd cząstki, tym mniejsza długość fali z nią związanej. Ta relacja prowadzi do fundamentalnej zasady nieoznaczoności Heisenberga, która w wersji dla położenia i pędu ma postać:
Δx · Δp ≥ ħ/2
gdzie ħ = h / (2π). Oznacza to, że nie można jednocześnie dowolnie dokładnie znać położenia cząstki (x) i jej pędu (p). Im dokładniej próbujemy zmierzyć jedno, tym większa niepewność w drugim. Pęd staje się więc nie tylko mierzonym parametrem, ale także miarą granic poznania w skali mikroświata.
W mechanice kwantowej pęd związany jest z operatorem różniczkowym (w jednym wymiarze):
p̂ = −iħ (d/dx)
Ten operator działa na funkcję falową cząstki. Własne stany pędu to funkcje falowe o postaci fal płaskich, które są rozciągnięte w całej przestrzeni. Takie stany nie mają ściśle określonego położenia, ale mają ostro zdefiniowany pęd. Z kolei stan dobrze zlokalizowany przestrzennie opisuje się jako superpozycję wielu stanów o różnych pędach.
W fizyce cząstek elementarnych pęd jest jednym z podstawowych parametrów mierzonych w detektorach. Tor cząstki zakrzywiony w polu magnetycznym pozwala wyznaczyć jej pęd, a tym samym – przy znajomości energii – zidentyfikować rodzaj cząstki. Zasada zachowania pędu, stosowana w skali mikro, jest jednym z najpotężniejszych narzędzi do wykrywania cząstek trudnych do bezpośredniej obserwacji, np. neutrin, które uciekają z detektora niemal niezauważone. Brakujący pęd w bilansie zderzenia wskazuje, że jakaś cząstka “wyniosła” go ze sobą.
Pęd w statystyce, gospodarce i naukach społecznych
Choć pęd jest pojęciem fizycznym, metaforycznie przeniknął do innych dziedzin wiedzy. W ekonomii mówi się o “pędzie wzrostu” gospodarczego, w statystyce o “momentum” trendu, w psychologii o pędzie motywacji, a w zarządzaniu projektami o rozpędzie zespołu. W każdej z tych dziedzin posługujemy się podobną intuicją: stan systemu w pewnej chwili wpływa w sposób ciągły na jego stan w przyszłości, a zmiana “kierunku” wymaga określonego wysiłku.
W rynkach finansowych pojęcie momentum używane jest do opisu zjawiska, w którym aktywa, które rosły w ostatnim okresie, mają tendencję do dalszego wzrostu, a te, które spadały – do dalszych spadków. Jest to odpowiednik “pędu” cen: aktualny kierunek zmian bywa utrzymywany przez jakiś czas ze względu na zachowania inwestorów, algorytmy transakcyjne czy mechanizmy psychologiczne. W modelach ilościowych i algorytmach uczenia maszynowego często stosuje się wskaźniki momentum, które naśladują ideę fizycznego pędu.
W statystycznym modelowaniu procesów czasowych (szeregów czasowych) pojęcia te przybierają matematyczną postać. Autoregresyjne modele zakładają, że obecna wartość zmiennej zależy od jej przeszłych wartości. Duża dodatnia autokorelacja kolejnych wartości sugeruje swoisty “pęd” procesu. W modelach takich jak AR(1) czy bardziej złożone ARIMA, ukryty jest ten sam koncept, co w fizyce: dzisiejszy stan silnie zależy od wczorajszego.
W naukach społecznych pęd bywa używany jako metafora dynamiki zmian kulturowych czy technologicznych. Innowacje zyskują “pęd” adopcji: od momentu, gdy przekroczą pewien próg wsparcia społecznego, zaczynają rozprzestrzeniać się lawinowo. Modele dyfuzji innowacji formalnie przypominają równania ruchu, w których siłami są naciski społeczne, ekonomiczne i instytucjonalne, a pędem – stopień rozpowszechnienia danej technologii.
Ciekawym przykładem jest analiza zmian językowych. Nowe słowa, konstrukcje gramatyczne czy memy internetowe rozprzestrzeniają się w populacji niczym cząstki posiadające pęd. Badania korpusowe i modelowanie sieci społecznych pozwalają opisać “pęd” rozprzestrzeniania się określonych form językowych i przewidywać ich przyszły los. Choć używa się tu metafor zaczerpniętych z fizyki, za liczbami i wykresami stoją realne zjawiska społeczne.
Energia, praca i pęd w inżynierii i technice
W inżynierii pęd jest jednym z podstawowych narzędzi analizy ruchu i oddziaływań. Projektowanie konstrukcji mechanicznych, pojazdów, turbin, silników czy robotów wymaga dobrej znajomości dynamiki pędu i energii. Przykładowo w turbomachinach – takich jak turbiny wodne czy gazowe – analizuje się zmianę pędu przepływającego medium (wody, pary, gazu), aby wyznaczyć siłę działającą na łopatki i moc generowaną przez urządzenie.
Równanie Eulera dla turbomaszyn można traktować jako sformalizowaną wersję zasady zmiany pędu dla przepływu: różnica momentu pędu między wlotem a wylotem wirnika jest związana z mocą przekazywaną medium. Zmieniając geometrię łopatek, prędkość obrotową czy warunki przepływu, inżynier manipuluje pędem strumienia, aby osiągnąć pożądaną wydajność.
W lotnictwie i astronautyce analiza pędu strumienia powietrza lub gazów wylotowych jest fundamentem aerodynamiki i teorii napędu. Dla silników odrzutowych siła ciągu jest bezpośrednim skutkiem zmiany pędu strumienia: im większa różnica prędkości między powietrzem wlotowym a wylotowym, tym większy ciąg. Podobnie dla silników rakietowych siła wynika z wyrzucania masy z dużą prędkością. To zastosowanie klasycznej formuły pędu do obliczeń kluczowych dla bezpieczeństwa i efektywności lotu.
W inżynierii budowlanej pęd pojawia się np. przy analizie oddziaływania pojazdów na mosty, siły wiatru na wieżowce czy uderzeń fal na falochrony. Modeluje się ruch mas i ich pęd, aby przewidzieć obciążenia dynamiczne i dobrać odpowiednie materiały oraz kształty konstrukcji. W symulacjach komputerowych (metoda elementów skończonych, dynamika płynów) rachunek pędu jest podstawą algorytmów numerycznych.
W robotyce pęd pozwala na planowanie ruchu manipulatorów i nóg robotycznych tak, aby zapewnić stabilność i płynność ruchu. W zaawansowanych algorytmach sterowania pojawiają się pojęcia takie jak całkowity pęd układu robot–otoczenie, co umożliwia tworzenie ruchów dynamicznych, np. skoków czy biegu, bez utraty równowagi. Pęd i moment pędu stają się tu wielkościami, którymi steruje się w sposób świadomy, podobnie jak mięśnie w ludzkim ciele “sterują” pędem kończyn.
Pęd w kosmologii i astrofizyce
Na skalę kosmiczną pęd odgrywa kluczową rolę w opisie ruchu planet, gwiazd, galaktyk i całych gromad. Orbita planety wokół gwiazdy jest wynikiem równowagi między pędem orbitalnym planety a przyciąganiem grawitacyjnym. Gdy ciało poruszające się w pobliżu masywnego obiektu zmienia swój tor, zachowanie pędu całkowitego układu – uwzględniającego również moment pędu – pozostaje spełnione.
W zderzeniach galaktyk, trwających setki milionów lat, pęd gwiazd i gazu prowadzi do spektakularnych przekształceń struktur, powstawania ogonów pływowych i nowych obszarów intensywnego powstawania gwiazd. Symulacje numeryczne takich procesów opierają się na śledzeniu pędu niezliczonej liczby cząstek reprezentujących gwiazdy, ciemną materię i gaz. Zasada zachowania pędu wyznacza globalny kształt tych ewolucji, nawet jeśli lokalnie występują złożone oddziaływania.
W kosmologii wczesnego Wszechświata pęd cząstek, fotonów i pól kwantowych wpływał na powstawanie fluktuacji gęstości, które później stały się zalążkami galaktyk. Pęd fal dźwiękowych w plazmie kosmicznej zapisany jest w mikrofalowym promieniowaniu tła, które obserwujemy dzisiaj jako precyzyjną mapę nierównomierności temperatury na niebie. Analiza tych wzorców pozwala odtworzyć “pęd” procesów zachodzących w pierwszych chwilach po Wielkim Wybuchu.
Jednocześnie pęd promieniowania odgrywa rolę w ewolucji gwiazd. Wewnętrzne reakcje termojądrowe generują ogromne ilości energii, która promieniuje na zewnątrz w formie fotonów. Fotonom tym odpowiada określony pęd, który może wywierać ciśnienie na warstwy gazu w gwieździe. W bardzo masywnych gwiazdach ciśnienie promieniowania staje się na tyle duże, że równoważy grawitację i wpływa na los gwiazdy, m.in. prowadząc do intensywnych wiatrów gwiazdowych lub determinując rodzaj supernowej.
W skrajnych obiektach, takich jak gwiazdy neutronowe czy czarne dziury, pęd materii i promieniowania w silnych polach grawitacyjnych prowadzi do zjawisk takich jak dżety relatywistyczne – wąskie strumienie plazmy wyrzucane z ogromnymi prędkościami na tysiące lat świetlnych. Obserwacje tych struktur pozwalają testować ogólną teorię względności i procesy akrecji, a więc złożone przekazywanie pędu między dyskiem materii a centralnym obiektem.
Pęd jako zasada symetrii i fundament teorii
Współczesna fizyka traktuje pęd nie tylko jako użyteczną wielkość obliczeniową, ale jako przejaw głębokiej symetrii przyrody. Zgodnie z twierdzeniem Noether, dla każdego rodzaju ciągłej symetrii istnieje odpowiadająca jej wielkość zachowana. W przypadku pędu liniowego tą symetrią jest jednorodność przestrzeni: fakt, że prawa fizyki są takie same w każdym miejscu. Gdyby istniały wyróżnione punkty w przestrzeni, pęd nie musiałby być zachowany.
Podobnie moment pędu wynika z izotropii przestrzeni, czyli jej jednakowości we wszystkich kierunkach. Zasada zachowania pędu jest więc odzwierciedleniem fundamentalnych własności przestrzeni, a nie tylko empirycznym spostrzeżeniem. Taka perspektywa łączy pęd z geometrią czasoprzestrzeni i symetriami grupowymi, które stanowią język nowoczesnych teorii pola.
W teorii kwantowych pól pęd pojawia się jako generator przesunięć przestrzennych: operator pędu zastosowany do stanu kwantowego “przesuwa” go w przestrzeni. To formalne ujęcie sprawia, że pęd staje się centralnym pojęciem w konstrukcji lagranżjanów (funkcji opisujących dynamikę pól) i w procesie kwantowania teorii. Bez zrozumienia roli pędu trudno byłoby zbudować spójną teorię oddziaływań podstawowych: elektromagnetycznego, słabego, silnego, a nawet grawitacyjnego w ramach prób kwantowej grawitacji.
W praktyce eksperymentalnej zasady symetrii i związane z nimi wielkości zachowane, w tym pęd, prowadzą do przewidywań dotyczących możliwych i niemożliwych reakcji cząstek. Jeśli w jakimś procesie nie da się jednocześnie zachować pędu, energii, ładunku i innych istotnych wielkości, proces ten jest zakazany. Dzięki temu pęd staje się jednym z “strażników” dopuszczalnych praw przyrody.
Znaczenie pędu w edukacji i myśleniu naukowym
Nauka o pędzie jest ważnym etapem w rozwoju myślenia naukowego. Ucząc się, jak pęd wiąże się z masą, prędkością, siłą i czasem, uczniowie poznają, że świat można opisywać nie tylko intuicyjnie, ale także za pomocą precyzyjnych modeli matematycznych. Rozwiązywanie zadań z pędu – od prostych zderzeń po skomplikowane układy wielociałowe – kształci umiejętność tworzenia modeli, upraszczania rzeczywistości i krytycznej oceny założeń.
Jednym z typowych wyzwań edukacyjnych jest odróżnienie pędu od energii. Uczniowie często mieszają te pojęcia, ponieważ oba wiążą się z ruchem. Systematyczne porównywanie ich własności – zależność od prędkości, sposób zachowania w zderzeniach, wpływ masy – pomaga w budowaniu głębszego zrozumienia. Zastosowanie pędu w problemach praktycznych, np. w analizie wypadków, skoków narciarskich czy gier komputerowych, sprawia, że abstrakcyjne wzory nabierają konkretnego znaczenia.
W dobie symulacji komputerowych i modelowania numerycznego pęd stał się też narzędziem dydaktycznym. Programy symulujące ruch kul bilardowych, wahadeł czy rakiet pozwalają uczniom obserwować skutki zmian parametrów pędu w czasie rzeczywistym. Dzięki temu możliwe jest eksperymentowanie z sytuacjami, które byłyby niebezpieczne lub nierealne w warunkach szkolnych, a jednocześnie oparte na tych samych równaniach i zasadach zachowania.
FAQ
Co to jest pęd i jak się go liczy?
Pęd to wielkość fizyczna opisująca “ilość ruchu” ciała. W mechanice klasycznej definiuje się go jako iloczyn masy i prędkości: p = m · v. Jest to wielkość wektorowa, więc ma wartość i kierunek zgodny z ruchem. Im większa masa lub prędkość, tym większy pęd. Pęd obliczamy oddzielnie dla każdego kierunku przestrzeni; w układach z wieloma ciałami można sumować pędy, aby otrzymać pęd całkowity.
Dlaczego pęd jest wielkością zachowaną?
Zachowanie pędu wynika z jednorodności przestrzeni – prawa fizyki są takie same w każdym miejscu. Twierdzenie Noether łączy tę symetrię z istnieniem wielkości zachowanej, czyli właśnie pędu. W izolowanym układzie, na który nie działają siły zewnętrzne, suma pędów wszystkich ciał pozostaje stała. Zderzenia, wybuchy czy odrzut broni mogą zmieniać rozkład pędu między częściami układu, ale nie zmieniają jego wartości całkowitej.
Jak pęd różni się od energii kinetycznej?
Pęd i energia kinetyczna opisują różne aspekty ruchu. Pęd zależy liniowo od prędkości (p = m · v) i jest wektorem, natomiast energia kinetyczna zależy od kwadratu prędkości (Ek = ½ m · v²) i jest skalarem. W zderzeniach zawsze zachowany jest pęd całkowity, natomiast energia kinetyczna może częściowo przemieniać się w inne formy energii. Dwa ciała mogą mieć ten sam pęd, ale różne energie, jeśli różnią się masą lub prędkością.
Czy światło ma pęd, skoro nie ma masy spoczynkowej?
Tak, fotony – cząstki światła – mają pęd, mimo że ich masa spoczynkowa wynosi zero. W teorii względności energia i pęd fotonu są powiązane równaniem E = pc. Fotony przenoszą więc zarówno energię, jak i pęd, co pozwala im wywierać ciśnienie promieniowania. Efekt ten jest mierzony w laboratoriach i ma znaczenie w astrofizyce, np. w równowadze gwiazd. Dzięki pędowi fotonów możliwe są też koncepcje żagli słonecznych napędzanych promieniowaniem.
Na czym polega zasada nieoznaczoności położenia i pędu?
Zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi, że nie da się jednocześnie dowolnie dokładnie znać położenia (x) i pędu (p) cząstki: ich niepewności spełniają nierówność Δx · Δp ≥ ħ/2. Nie jest to ograniczenie aparatury, ale fundamentalna cecha natury w skali kwantowej. Im precyzyjniej określimy położenie, tym większa staje się niepewność pędu i odwrotnie. Wynika to z falowego charakteru cząstek i matematycznych własności funkcji falowych.
