Czym jest prędkość fazowa

Prędkość fazowa jest jednym z kluczowych pojęć fizyki fal, ale również koncepcją, która często bywa mylona z innymi rodzajami prędkości, takimi jak prędkość grupowa czy prędkość propagacji energii. Zrozumienie, czym dokładnie jest prędkość fazowa, wymaga spojrzenia zarówno na poziom matematycznego opisu fal, jak i na konkretne zjawiska fizyczne – od fal na wodzie, przez fale dźwiękowe, aż po fale elektromagnetyczne w próżni i w ośrodkach materialnych. Jest to krok niezbędny do głębszego zrozumienia nowoczesnej fizyki, optyki, elektroniki, a nawet współczesnych technologii komunikacyjnych.

Intuicyjne wprowadzenie do pojęcia fazy i fali

Aby zrozumieć, czym jest prędkość fazowa, trzeba najpierw uporządkować samo pojęcie fali oraz fazy. Falę można rozumieć jako rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie – nie jako materialny obiekt, ale jako sposób, w jaki zmienia się w czasie pewna wielkość fizyczna: wysokość powierzchni wody, ciśnienie powietrza, natężenie pola elektrycznego, pole magnetyczne czy prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w mechanice kwantowej. Fala przenosi informację i często energię, chociaż nie zawsze w sposób prosty do wyobrażenia.

Rozważmy prostą falę sinusoidalną na sznurku. W każdym punkcie sznurek wznosi się i opada zgodnie z funkcją sinusoidalną. Możemy w dowolnym momencie zaznaczyć na wykresie położenia tych punktów i zobaczyć charakterystyczne grzbiety i doliny fali. W takim opisie pojawia się pojęcie fazy. Faza to liczba określająca, w którym miejscu cyklu drgań znajduje się dana cząstka ośrodka: czy jest akurat na maksymalnym wychyleniu, w punkcie równowagi, czy w połowie drogi między nimi. Formalnie faza jest argumentem funkcji sinus lub cosinus w opisie matematycznym fali.

Jeżeli opiszemy falę prostą równaniem

y(x,t) = A sin(kx − ωt)

to wyrażenie kx − ωt nazywa się fazą (z dokładnością do stałej dodanej). Współczynnik k określa, jak szybko faza zmienia się w przestrzeni (to tzw. liczba falowa), a ω określa, jak szybko zmienia się w czasie (częstość kołowa). Tę fazę można wizualizować jako „znacznik”, który przesuwa się wzdłuż fali, wskazując punkty o tym samym stanie drgań. Śledząc ruch konkretnego maksimum (grzbietu) albo minimum, de facto śledzimy przesuwanie się fazy w przestrzeni, co prowadzi bezpośrednio do definicji prędkości fazowej.

W codziennej intuicji interesuje nas zazwyczaj to, jak szybko porusza się widoczny kształt fali: jak prędko przemieszcza się grzbiet fali na wodzie czy sygnał w kablu koncentrycznym. Ta „widzialna” prędkość kształtu związana jest właśnie z prędkością fazową w przypadku prostej fali sinusoidalnej. Jednak przy bardziej złożonych sygnałach, złożonych z wielu częstotliwości, sytuacja się komplikuje i wówczas pojawia się odrębne pojęcie prędkości grupowej oraz prędkości rozchodzenia się informacji. Zanim jednak do tego przejdziemy, trzeba precyzyjnie sformułować definicję prędkości fazowej i zrozumieć jej matematyczną strukturę.

Definicja i matematyczny opis prędkości fazowej

Podstawową definicję prędkości fazowej v_f (często oznaczanej jako v_p lub c_f) można sformułować następująco: jest to prędkość, z jaką w przestrzeni przemieszcza się powierzchnia stałej fazy, na przykład konkretne maksimum fali sinusoidalnej. Wzrokowo oznacza to prędkość, z jaką poruszają się charakterystyczne punkty pojedynczego, idealnie okresowego zaburzenia. W przypadku równania

y(x,t) = A sin(kx − ωt)

faza φ = kx − ωt jest stała (np. równa φ₀) wzdłuż linii spełniającej kx − ωt = φ₀. Po przekształceniu otrzymujemy x = (ω/k)t + φ₀/k, co oznacza, że punkt o stałej fazie porusza się z prędkością

v_f = ω / k.

Ta prosta zależność jest jedną z najbardziej użytecznych formuł w fizyce fal. Pokazuje, że prędkość fazowa jest związana z częstotliwością (lub częstością kołową ω) oraz liczbą falową k. Ponieważ liczba falowa k = 2π / λ, a częstość kołowa ω = 2π f, prędkość fazowa może być również zapisana jako

v_f = λ f,

czyli iloczyn długości fali i jej częstotliwości. Ta forma jest często używana przy opisie fal elektromagnetycznych w próżni lub prostych fal dźwiękowych w jednorodnych ośrodkach. W wielu mediach, w zakresie niezbyt szerokich częstotliwości, prędkość fazowa jest stała i równa prędkości rozchodzenia się energii, co upraszcza analizę zjawisk falowych.

Istotne jest jednak, że w ogólnym przypadku zależność między ω a k jest bardziej złożona i nazywana jest relacją dyspersyjną: ω = ω(k). W praktyce oznacza to, że różne długości fali (a więc różne częstotliwości) mogą rozchodzić się z różnymi prędkościami w tym samym ośrodku. W ośrodku dyspersyjnym prędkość fazowa jest funkcją liczby falowej: v_f(k) = ω(k)/k. To właśnie dyspersja prowadzi do efektów rozmywania się krótkich impulsów w czasie, a także do wielu spektakularnych zjawisk optycznych, takich jak rozszczepienie światła białego w pryzmacie.

Rozumiejąc prędkość fazową jako prędkość przesuwania się fazy, należy pamiętać, że sama faza jest wielkością zdefiniowaną na funkcji fali, a niekoniecznie związana wprost z przepływem materii czy energii. To rozróżnienie bywa kluczowe przy analizie zjawisk, w których prędkość fazowa przyjmuje wartości większe od prędkości światła w próżni, v_f > c, nie naruszając jednak zasady względności ani zakazu przesyłania informacji szybciej niż c. Faza może bowiem „biec” szybciej niż jakikolwiek sygnał czy cząstka, jeśli nie jest powiązana z realnym przepływem informacji.

W tym miejscu warto wprowadzić również pojęcie wektora falowego. W jednowymiarowym przykładzie k jest skalarem, ale w przestrzeni trójwymiarowej fala opisuje się jako

ψ(r,t) = A exp[i(k · r − ωt)],

gdzie k jest wektorem falowym, r – wektorem położenia, a iloczyn skalarny k · r zastępuje kx. Faza φ = k · r − ωt pozostaje stała na płaszczyznach prostopadłych do wektora k, a prędkość fazowa jest skierowana wzdłuż wektora k i ma wartość v_f = ω/|k|. Ten formalizm przydaje się w optyce falowej, teorii dyfrakcji oraz fizyce ciała stałego, gdzie rozpatruje się fale w przestrzeni trójwymiarowej, a także w ośrodkach anizotropowych, w których kierunek rozchodzenia się energii (wektor Poyntinga) nie pokrywa się z kierunkiem wektora falowego.

Warto także zauważyć, że prędkość fazowa jest ściśle powiązana z parametrami materiałowymi ośrodka. Dla fal elektromagnetycznych w próżni prędkość fazowa jest równa stałej c, prędkości światła, danej zależnością c = 1/√(ε₀ μ₀). W ośrodku dielektrycznym, takim jak szkło czy woda, prędkość fazowa jest mniejsza i dana jest przez v_f = c/n, gdzie n jest współczynnikiem załamania ośrodka. Jednak n zwykle zależy od częstotliwości (dyspersja), co sprawia, że również prędkość fazowa jest funkcją częstotliwości i nie jest stała dla całego zakresu widzialnego światła.

Podsumowując ten dział: matematyczna definicja prędkości fazowej jest stosunkowo prosta, ale jej fizyczna interpretacja wymaga ostrożności. Prędkość ta mówi nam, z jaką szybkością poruszają się w przestrzeni punkty o danej fazie – na przykład linie maksymalnych wychyleń w fali sinusoidalnej – natomiast nie musi bezpośrednio odzwierciedlać prędkości przesyłania energii czy informacji. Rozróżnienie to staje się szczególnie istotne w ośrodkach dyspersyjnych i w teorii względności.

Prędkość fazowa a prędkość grupowa i przenoszenie energii

Naturalnym krokiem po zdefiniowaniu prędkości fazowej jest wprowadzenie prędkości grupowej v_g oraz omówienie związku tych dwóch pojęć. Prędkość grupowa pojawia się wtedy, gdy nie rozważamy idealnej, nieskończonej fali sinusoidalnej, lecz rzeczywisty sygnał o ograniczonym czasie trwania lub przestrzennym zasięgu. Taki sygnał można traktować jako superpozycję wielu fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach i długościach fali. Obwiednia tej superpozycji – czyli „koperta”, w której zawarta jest energia i informacja – przemieszcza się z prędkością grupową.

Matematycznie, dla wąskiego pasma częstotliwości, prędkość grupowa zdefiniowana jest jako

v_g = dω/dk.

Podczas gdy prędkość fazowa jest prostym stosunkiem ω/k, prędkość grupowa jest pochodną częstości kołowej względem liczby falowej. W przypadku ośrodka niedyspersyjnego, gdzie ω jest proporcjonalne do k (np. ω = v k), obie prędkości są sobie równe. Ale w ośrodkach dyspersyjnych, gdzie relacja dyspersyjna jest nieliniowa, v_f ≠ v_g, co prowadzi do wielu intrygujących efektów fizycznych.

Rozważmy przykład światła w szkle. Współczynnik załamania n(λ) zmienia się z długością fali, co powoduje, że składowe o różnych barwach (czerwone, zielone, niebieskie) rozchodzą się z różnymi prędkościami fazowymi. Jeśli wyślemy krótki impuls świetlny zawierający wiele częstotliwości, poszczególne składowe „rozjadą się” w czasie, a impuls ulegnie poszerzeniu – jest to bezpośrednia konsekwencja różnicy między v_f a v_g. W światłowodach telekomunikacyjnych zjawisko to ma ogromne znaczenie praktyczne, gdyż ogranicza przepustowość łączy i wymaga specjalnego projektowania profili dyspersyjnych włókien.

Kluczowa różnica fizyczna polega na tym, że prędkość grupowa jest zazwyczaj powiązana z prędkością transportu energii i informacji. W typowych sytuacjach właśnie z v_g utożsamia się prędkość sygnału. Natomiast prędkość fazowa może przyjmować wartości większe od c bez naruszania szczególnej teorii względności, o ile prędkość grupowa (lub prędkość sygnału) pozostają nieprzekraczające c. Z tego powodu często mówi się, że prędkość fazowa jest „geometrią” fali, a prędkość grupowa – „kinemiką” energii i informacji w fali.

Dobrym przykładem jest fala de Broglie’a w mechanice kwantowej. Dla swobodnej cząstki relatywistycznej relacja dyspersyjna jest określona przez związek między energią a pędem. W efekcie prędkość fazowa fali de Broglie’a może być większa od prędkości światła, ale prędkość grupowa, odpowiadająca ruchowi paczki falowej opisującej cząstkę, jest mniejsza niż c i jest związana z rzeczywistą prędkością tej cząstki. To przykład sytuacji, w której prędkość fazowa jest pojęciem pomocniczym, a nie bezpośrednio obserwowalną prędkością obiektu fizycznego.

W inżynierii sygnałowej i elektronice wysokich częstotliwości rozróżnienie prędkości fazowej i grupowej ma znaczenie praktyczne dla projektowania linii transmisyjnych, falowodów czy anten. Na przykład w falowodach prostokątnych fale elektromagnetyczne rozchodzą się w trybach o różnych relacjach dyspersyjnych. Okazuje się, że prędkość fazowa w falowodzie może być większa od c, ale prędkość grupowa – mniejsza, a energia porusza się z prędkością odpowiadającą właśnie v_g. Projektanci muszą uwzględniać te różnice, aby przewidzieć opóźnienia sygnału i zminimalizować zniekształcenia.

Pewna subtelność pojawia się też w kontekście definicji prędkości energii. W polu elektromagnetycznym energię przenosi wektor Poyntinga S, a gęstość energii u określa, ile energii przypada na jednostkę objętości. Prędkość przenoszenia energii można zdefiniować jako S/u. W ośrodkach niedyspersyjnych prędkość ta jest równa prędkości grupowej, ale w złożonych mediach może zachowywać się inaczej. Prędkość fazowa pozostaje jednak nadal prostą wielkością związaną z geometrią przebiegu fal w czasie i przestrzeni.

Warto również zwrócić uwagę na sytuacje, w których pojawia się tzw. prędkość grupowa ujemna lub prędkość fazowa skierowana przeciwnie do kierunku przepływu energii. Zjawiska te mogą występować w metamateriałach i ośrodkach o nietypowych właściwościach dyspersyjnych. Mimo iż brzmi to paradoksalnie, nie prowadzą one do sprzeczności z zasadą przyczynowości, ponieważ ujemna prędkość grupowa opisuje sposób, w jaki zmienia się kształt impulsu w ośrodku o silnej dyspersji, a nie faktyczne cofanie się informacji w czasie. Tego typu eksperymenty demonstrują, jak ważne jest odróżnianie prędkości fazowej, grupowej oraz sygnałowej i rozumienie ich definicji w kontekście konkretnego układu fizycznego.

Prędkość fazowa w różnych typach fal i zastosowaniach

Prędkość fazowa pojawia się w wielu obszarach fizyki oraz techniki, przy czym jej interpretacja zależy od rodzaju fali i ośrodka. Omówienie kilku przykładów pozwoli lepiej uchwycić znaczenie tego pojęcia i jego konsekwencje praktyczne.

Fale mechaniczne: woda, powietrze, ciała stałe

W falach na wodzie, takich jak fale grawitacyjne na powierzchni jeziora czy oceanu, prędkość fazowa zależy od głębokości wody, długości fali oraz przyspieszenia grawitacyjnego. Dla fal grawitacyjnych na głębokiej wodzie relacja dyspersyjna ma postać

ω² = gk,

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Stąd prędkość fazowa v_f = ω/k = √(g/k) = √(gλ/2π). Oznacza to, że dłuższe fale poruszają się szybciej niż krótsze. Można to zaobserwować, patrząc na fale powstające podczas sztormu: długie fale oceaniczne mogą wyprzedzać krótsze fale w miarę oddalania się od miejsca powstania zaburzenia. Równocześnie prędkość grupowa w tym przypadku jest równa połowie prędkości fazowej, co oznacza, że energia przenoszona jest wolniej niż poruszają się poszczególne grzbiety fali.

W falach dźwiękowych w powietrzu prędkość fazowa zależy przede wszystkim od temperatury i składu chemicznego gazu. W powietrzu o temperaturze około 20°C prędkość dźwięku wynosi około 343 m/s i dla słabych zaburzeń akustycznych jest ona równa zarówno prędkości fazowej, jak i grupowej, ponieważ powietrze w tym zakresie zachowuje się praktycznie jak ośrodek niedyspersyjny. Jednak w bardziej złożonych sytuacjach, na przykład dla fal akustycznych w uwarstwionej atmosferze lub w przewodach o specjalnej geometrii, dyspersja może stać się istotna, a prędkości fazowa i grupowa przestają być identyczne.

W ciałach stałych fale sprężyste mogą rozchodzić się w różnych trybach: podłużnym, poprzecznym, powierzchniowym (np. fale Rayleigha). Każdy z tych trybów ma własną relację dyspersyjną i własną prędkość fazową. W nienaprężonym, jednorodnym pręcie prędkość fazowa fal podłużnych jest dana przez v_f = √(E/ρ), gdzie E jest modułem Younga, a ρ gęstością materiału. W praktyce oznacza to, że w stali fale dźwiękowe rozchodzą się znacznie szybciej niż w powietrzu, co wykorzystuje się m.in. w ultradźwiękowych badaniach nieniszczących. W falach powierzchniowych pojawiają się często silne efekty dyspersyjne, co prowadzi do różnic między prędkością grupową i fazową oraz jest wykorzystywane np. w czujnikach SAW (Surface Acoustic Wave).

Fale elektromagnetyczne: próżnia, dielektryki, światłowody

W próżni fale elektromagnetyczne mają liniową relację dyspersyjną: ω = c k, co oznacza, że prędkość fazowa jest stała i równa prędkości światła c ≈ 3·10⁸ m/s. W takim ośrodku niedyspersyjnym prędkość fazowa, prędkość grupowa i prędkość propagacji energii są równe. To ułatwia analizę wielu problemów w teorii pola elektromagnetycznego i jest podstawą szczególnej teorii względności, która przyjmuje c jako uniwersalną stałą maksymalnej prędkości sygnału.

W ośrodkach materialnych, takich jak szkło, woda czy kryształy, sytuacja jest bardziej złożona. Współczynnik załamania n(ω) zależy od częstotliwości światła, co wynika z rezonansowych właściwości elektronów w atomach i cząsteczkach. Zależność ta bywa opisywana modelami dyspersji (np. drude’owskim czy Lorentza), a w praktyce prowadzi do tego, że niebieskie światło ma nieco inny współczynnik załamania niż czerwone. Właśnie z tej przyczyny pryzmat rozszczepia światło białe na barwy tęczy: prędkości fazowe poszczególnych długości fal są różne, co skutkuje różnymi kątami załamania i różnym torami promieni.

W światłowodach, szczególnie wykorzystywanych w telekomunikacji, kontrola prędkości fazowej i grupowej jest krytyczna dla jakości transmisji danych. Profil współczynnika załamania w przekroju światłowodu (np. światłowody gradientowe) projektuje się tak, aby zminimalizować dyspersję modową i chromatyczną, czyli rozmywanie się impulsów w czasie wskutek różnic w prędkościach fazowych poszczególnych modów i długości fal. Inżynierowie posługują się dokładnymi modelami dyspersji, wyznaczając zarówno v_f, jak i v_g dla danej częstotliwości, aby dobrać optymalne pasmo pracy systemu.

W falowodach mikrofalowych czy antenach szczelinowych także bierze się pod uwagę prędkość fazową. Na przykład w liniach fazowanych, stosowanych w radarach i systemach 5G, odpowiednie przesunięcia fazowe pomiędzy elementami anteny decydują o kształcie i kierunku głównej wiązki. Znajomość prędkości fazowej w strukturach zasilających pozwala wyznaczyć, jak długa powinna być linia mikropaskowa między elementami, by uzyskać pożądane przesunięcie fazy między sygnałami i tym samym sterować kierunkiem emisji bez mechanicznego poruszania anteną.

Fale materii i prędkość fazowa w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej pojawia się pojęcie fal materii, opisanych równaniem Schrödingera lub równaniami relatywistycznymi. Cząstki, takie jak elektrony, zachowują się jak fale z określoną długością de Broglie’a λ = h/p, gdzie h jest stałą Plancka, a p pędem cząstki. Fale te mają swoją prędkość fazową i grupową, wynikającą z relacji między energią a pędem.

Dla nierelatywistycznej cząstki o masie m i energii kinetycznej E = p²/2m relacja dyspersyjna ma postać

ω = E/ħ = p²/(2mħ),

gdzie ħ = h/2π. Ponieważ p = ħk, otrzymujemy ω = (ħk²)/(2m). Stąd prędkość fazowa v_f = ω/k = (ħk)/(2m) = p/(2m), natomiast prędkość grupowa v_g = dω/dk = ħk/m = p/m, która odpowiada klasycznej prędkości cząstki. Widzimy więc, że prędkość fazowa fali de Broglie’a jest połową prędkości grupowej i nie ma bezpośredniego odpowiednika w klasycznej mechanice cząstek – jest obiektem czysto falowym.

W relatywistycznym ujęciu, dla swobodnej cząstki z relacją E² = (pc)² + (m c²)², relacja dyspersyjna jest inna i prędkość fazowa może przekraczać prędkość światła. Nie jest to jednak fizycznie sprzeczne, ponieważ prędkość fazowa nie przenosi informacji. Paczka falowa opisująca cząstkę porusza się z prędkością grupową związaną z rzeczywistą prędkością cząstki, która zawsze jest mniejsza niż c dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej. To kolejny przykład, w którym rozróżnienie pomiędzy prędkością fazową a grupową jest niezbędne dla uniknięcia pozornych paradoksów.

Metamateriały, fale prowadzone i nietypowe zachowania prędkości fazowej

Rozwój metamateriałów – struktur sztucznie zaprojektowanych do kontrolowania propagacji fal – otworzył nowy obszar badań nad prędkościami fazowymi. W metamateriałach o ujemnym współczynniku załamania wektor Poyntinga (opisujący kierunek przepływu energii) może być przeciwny do wektora falowego. W takim ośrodku fala elektromagnetyczna ma prędkość fazową skierowaną przeciwnie do prędkości grupowej. Oznacza to, że grzbiety fali „idą” w stronę źródła, podczas gdy energia rozchodzi się na zewnątrz. Choć wydaje się to sprzeczne z intuicją, jest całkowicie poprawne matematycznie i eksperymentalnie potwierdzone.

W falach prowadzących po powierzchniach (plasmony powierzchniowe, fale w strukturach dyfrakcyjnych) często występują złożone relacje dyspersyjne, a prędkość fazowa zależy w silny sposób od częstotliwości oraz geometrii układu. Inżynierowie projektujący sensory optyczne czy miniaturowe układy fotoniczne wykorzystują te zależności, aby uzyskać silne lokalne wzmocnienia pola lub precyzyjną kontrolę nad opóźnieniami sygnału w zintegrowanych układach optycznych. W tego typu zastosowaniach znajomość lokalnej prędkości fazowej pozwala przewidzieć interferencję fal i rozkład natężenia pola w skomplikowanych strukturach.

Podobne zjawiska można obserwować w falach prowadzących w ośrodkach sprężystych, np. w cienkich płytach, prętach czy warstwach wielowarstwowych. W strukturach tych powstają fale typu Lamb, złożone tryby drgań, których prędkość fazowa i grupowa zależą silnie od częstotliwości i grubości warstwy. Analiza tych prędkości jest kluczowa w ultradźwiękowej diagnostyce materiałów warstwowych oraz w monitorowaniu stanu konstrukcji inżynierskich za pomocą metod SHM (Structural Health Monitoring).

FAQ – najczęściej zadawane pytania o prędkość fazową

Co dokładnie oznacza, że prędkość fazowa jest równa ω/k?

Wyrażenie v_f = ω/k wynika z definicji fazy fali sinusoidalnej φ = kx − ωt. Warunek stałej fazy φ = const prowadzi do równania x = (ω/k)t + const, które opisuje ruch punktu o ustalonej fazie (np. grzbietu fali) z prędkością ω/k. Oznacza to, że w czasie jednej sekundy faza przesuwa się o odcinek równy stosunkowi częstości kołowej do liczby falowej. Ta prędkość niekoniecznie opisuje ruch energii, ale ruch geometrycznych cech fali.

Czy prędkość fazowa może przekraczać prędkość światła?

Tak, w wielu ośrodkach dyspersyjnych prędkość fazowa może być większa niż prędkość światła w próżni. Nie narusza to jednak szczególnej teorii względności, ponieważ prędkość fazowa nie przenosi informacji ani energii w sposób bezpośredni. To jedynie prędkość przemieszczania się powierzchni stałej fazy. Ograniczeniu do c podlega prędkość sygnału, zwykle utożsamiana z prędkością grupową lub prędkością przenoszenia energii, a te pozostają nieprzekraczalne.

Jaka jest różnica między prędkością fazową a grupową?

Prędkość fazowa opisuje ruch punktów o danej fazie w pojedynczej fali sinusoidalnej i jest równa ω/k. Prędkość grupowa natomiast opisuje ruch obwiedni superpozycji fal, czyli prędkość paczki falowej niosącej energię i informację, i wyraża się jako dω/dk. W ośrodku niedyspersyjnym obie prędkości są równe, ale w dyspersyjnym mogą się znacznie różnić. To prędkość grupowa zazwyczaj odpowiada obserwowanej prędkości sygnału, a nie prędkość fazowa.

Dlaczego w światłowodach ważna jest znajomość prędkości fazowej?

W światłowodach różne długości fal oraz różne mody propagacji mają odmienne prędkości fazowe, co powoduje zjawiska dyspersji i rozmywanie impulsów w czasie. Znajomość prędkości fazowej pozwala obliczyć relację dyspersyjną i z niej wyprowadzić prędkość grupową, decydującą o opóźnieniu i zniekształceniu sygnału. Projektanci światłowodów i systemów optycznych dobierają profil współczynnika załamania tak, by kontrolować v_f i tym samym minimalizować dyspersję w określonym paśmie częstotliwości.

Czy prędkość fazowa ma sens dla fal kwantowych, takich jak fala de Broglie’a?

Tak, prędkość fazowa jest dobrze zdefiniowana również dla fal de Broglie’a opisujących cząstki w mechanice kwantowej. Wynika ona z relacji dyspersyjnej wiążącej energię z pędem. Dla cząstki swobodnej prędkość fazowa różni się od prędkości grupowej, która odpowiada klasycznej prędkości cząstki. Prędkość fazowa może być nawet większa od prędkości światła, co nie jest sprzeczne z teorią względności, ponieważ nie odpowiada bezpośrednio prędkości żadnego sygnału ani przepływu informacji w układzie.